Valor Esperado

 -El valor esperado es un concepto fundamental en el estudio de las distribuciones de probabilidad. 

-Para obtener el valor esperado de una variable aleatoria discreta, multiplicamos cada valor que ésta puede asumir por la probabilidad de ocurrencia de ese valor y luego sumamos los productos. Es un promedio ponderado de los resultados que se esperan en el futuro. 

-Sea X una Variable Aleatoria que toma valores en un conjunto discreto (en un 

conjunto finito de números en uno infinito como: los naturales, los enteros o los 

racionales), por ejemplo si la variable aleatoria X toma los siguientes valores: 

X = 0, 1, 2, 3, … decimos que es discreta.

-La probabilidad de que X tome cada uno de sus valores viene dada por la función de probabilidad: 

P(X = i ), para i = 0, 1, 2, 3, ... ; 

Sea P(X = i ) = pi para i = 0, 1, 2, 3, ... Se tiene que p1 + p2 + p3 +...+ pn +... = 1

-Se define el Valor Esperado de una Variable Aleatoria con distribución discreta como: 

-Y para una variable aleatoria con distribución continua como:

. Varianza

La varianza, σ2 o V(X), es un promedio ponderado de las desviaciones al cuadrado de una variable aleatoria de su media. Los pesos son las probabilidades. La varianza σ2 o V(X) se calcula con la siguiente fórmula:

Pero es más fácil y rápido usar esta fórmula, equivalente a la anterior:

Debemos recordar que la varianza es una medida de variabilidad o dispersión.

 Desviación estándar

La desviación estándar σ es la raíz cuadrada positiva de la varianza:

Recuerda que la varianza se mide en las mismas unidades que la variable aleatoria original.

Ejemplo 1

Sea X el número de clientes que visitan una tienda por día. Calcular el valor esperado de X a partir de su función de probabilidad:

Solución:

Recordemos la fórmula de la media o valor esperado:

Entonces reemplazamos los valores:

Y listo, la media o valor esperado es de 0,60. Recuerda que el valor esperado o media no tiene que ser un valor que la variable aleatoria pueda asumir. 

Ejemplo 2

Encuentra la media, varianza y desviación estándar de la variable aleatoria X:

Solución:

Cuando no solo nos piden calcular la media, si no también la varianza y la desviación estándar, es mejor emplear una tabla en la cual iremos colocando todo lo que indican las fórmulas. Empezamos colocando la tabla de la función de manera vertical.

Para calcular la media µ o valor esperado E(X), usamos su fórmula:

Agregamos una columna más a la tabla, para encontrar los productos x·f(x). Luego, sumamos estos productos.

Listo el valor de la media, obtuvimos que:

Llega el turno de la varianza, usaremos la fórmula rápida:

Entonces, agregamos algunas columnas más a nuestra tabla para encontrar lo que nos pide la fórmula:

Ya casi terminamos con la varianza:

Y por último, viene el valor de la desviación estándar, que es la raíz cuadrada positiva de la varianza.